Exponenciales con base a > 0

En este apartado encontrarás la definición de funciones exponenciales pero con base a > 0, distinta al número e y sus propiedades más importantes, referidas como propiedades de los exponentes. Tomamos a > 0 para asegurar la existencia de log(a) y para evitar problemas con algunos exponentes racionales (raíces pares de números negativos).

Definición

Cuando a = e, queda la definición de la exponencial, tal como la vimos en la sección anterior, puesto que log(e) = 1.

Ahora veamos las leyes de los exponentes, que de paso puedes observar que coinciden con las ya conocidas en los racionales.

Teorema 4

Ahora resulta interesante analizar esta función para distintos valores de a >0.

Análisis de

1. Resulta evidente.


2. 
   
   
3. 
   
   
4. Así tenemos que y por lo tanto tiene ínversa.
5. A dicha inversa le llamaremos: , es decir se trata del logaritmo en base a, de x.
6. Es muy importante ahora, establecer la relación entre el logaritmo en base a, con respecto al logaritmo en base e. Demostraremos que:
7. Sus gráficos:

Observa los cambios para 0 < a < 1 y para a > 1.
Clic para ir a interactivo

Observa los cambios para 0 < a < 1 y para a > 1.
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Las derivadas de

El caso general: la derivada de

Un caso particular: que establece la regla general para funciones con una potencia real


En este caso basta aplicar el caso general, considerando: