Otros resultados

En este apartado encontrarás otros resultados sobre la función exponencial, entre ellos su relación con cualquier función polinomial.

De antemano, como lo vimos en el teorema 2, sabemos que: . Queremos saber si el recíproco del teorema 2 es cierto. Veamos entonces el siguiente teorema.

Teorema 5

Además de las propiedades demostradas en los teoremas 2 y 3, la función exponencial tiene otra súmamente importante: "La función exponencial exponencial crece más rápidamente que cualquier polinomio". Este resultado lo demostraremos en el Teorema 6, pero antes veamos otro resultado que necesitaremos:

Lema

Teorema 6

A partir de este resultado se facilita analizar un cierto tipo de funciones, tales que sus derivadas de cualquier orden, en un punto, permanecen igual a cero, como por ejemplo:

1. Es una función par.
2. Es una composición de funciones derivables para , entonces:
   (función impar).
3. Por lo tanto: .
4. Y así: .
5. Además: .
6. Entonces la recta , es una asíntota de la función.
7. Por otra parte: .
8. Si en este momento redefinimos: , estaremos seguros que esta nueva función es continua en cero.
9. Además es derivable en cero, puesto que:
   y
   
10. Y como por el Teorema 6, sabemos que: , entonces con mayor razón: .
11. De aquí que: y por tanto . Así:
12. Esta función derivada es continua en cero, puesto que: donde
    donde
13. Y es derivable en cero, puesto que:
14. Es decir:
15. Entonces :
16. Se puede observar que: , es decir, la función definida en el punto 7, es extremadamente plana en el punto 0. Observa su gráfica y las de la primera y segunda derivadas:

Una situación similar ocurre con la función:

Es decir, se trata de una función extremadamente plana alrededor del origen y tal que . Observa su gráfica y las de la primera y segunda derivadas.