Para comprender el concepto de integral de varias variables, se requiere definir el concepto de partición.
En matemáticas una partición se determina a partir de un conjunto. En este caso tomemos el conjunto de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ para ejemplificar la partición
\[\textrm{Sea } A\subset\mathbb{R}^{2} \textrm{ tal que } A=\{(x,y)\in\mathbb{R} | x\in[a,b], y\in[\alpha,\beta]\} \]
donde $$P_{0}=\{x_{i}\in\mathbb{R} | i\in\{1,\ldots,n\} \}$$
y $$P_{1}=\{y_{j}\in\mathbb{R} | j\in\{0,\ldots ,m \}\}. $$
Definición. Sea $A$ un conjunto en $\mathbb{R}^{n}$ donde una familia $\mathcal P$ de subconjuntos de $A$ se denomina una partición de $A$ sí:
Definición. Sean dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A\times B\subseteq \mathbb{R}^{2}$. Sea $A_{i}\subseteq A$ y $B_{j}\subseteq B \ \forall i,j\in I$ tal que $A_{i}\times B_{j}\in P(A)\times P(B)$ donde $P(A)\times P(B)$ es la familia de conjuntos de forma $A_{i}\times B_{j}\ \forall i,j\in I$.
Como podemos observar, las particiones que damos como ejemplo son particiones con elementos rectangulares. Esto no es necesariamente la regla. Cualquier partición que cumpla con la definición dada se toma como tal.
Ahora, si bien no es la regla que una partición cuente con elementos rectangulares, son los que usaremos, dado que podemos aprovechar que dentro de los conjuntos que forman este tipo particiones podemos trazar lineas rectas para cualesquiera dos puntos del conjunto sin salirse del conjunto mismo; esto implica que sean conjuntos convexos. Así tenemos la siguiente definición.
Definición Sea $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ un conjunto convexo y sean $x,y\in A$. Se denomina diámetro de $A$ a $\max\{d(x,y)\ | \ \forall x,y\in A\}=D(A)$
Ejemplo. Sean $[a,b]\times [\alpha,\beta]$ y $P$ una partición para el conjunto $A$ tal que $(x_{i-1},x_{i})\times(y_{j-1},y_{j})\in P\ \forall i\in\{0,\ldots ,n \}$ y $\forall j\in\{0,\ldots ,m\}$ de donde, sí $\|(x_{i-1},y_{i-1})-(x_{i},y_{i})\|=D(A_{ij})$ entonces $\max D(A_{ij})=\|P\|$
Para poder dar la definición de integral multivariada, necesitamos definir en primer lugar dar función como unidad de medida o de medición. Entonces, definiremos algo que llamaremos medida de Jordan.
La definición que buscamos tiene sus bases en la unidad de medida de volumen.
Definición. Sea $A$ y $B$ dos conjuntos en $\mathbb{R}^{n}$ tales que $V:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función llamada volumen si:
Una vez dadas las definiciones de partición, norma de una partición y volumen, estamos listos para continuar.
Primero para poder dar una definición un tanto acotada de la medida de Jordan, requerimos del espacio en el cual desarrollamos la teoría.
Sea $\mathbb{R}^{n}$ un espacio vectorial euclidiano tal que $x\in\mathbb{R}^{n}$ es $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ donde $x$ es un punto en $\mathbb{R}^{n}$ y se puede ver también como sistema de coordenadas.
Ahora tomemos un $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. tal que $x_{i}\in\mathbb{R}$ de $x$ con $i\in\{1,\ldots ,n\}$, entonces podemos proponer $x_{i}\frac{1}{10^{k}}m$ con $m\in\mathbb{Z}$
¿Qué estamos haciendo? Si observas $x_{i}$ pertenece al punto $x$, pero, además $x_{i}$ pertenece a un intervalo en la i-ésima recta real que se contiene en $\mathbb{R}^{n}$, entonces si $x_{i}\in [\alpha_{i},\beta_{i}]$ tal que $\alpha_{i}=\frac{m_{j}}{10^{k}}$ y $\beta_{i}=\frac{m_{i}+1}{10^{k}}$ donde $\frac{m_{i}}{10^{k}}\leq x_{i} \leq\frac{m_{i+1}}{10^{k}}$.
Ahora, si aplicamos esto para toda $i\in\{1,\ldots ,n\}$ en el sistema de coordenadas, entonces ¿qué obtenemos?
Lo que se obtiene es un hipercubo de la forma \[ \{x\in\mathbb{R}^{n}\ | \frac{m_{i}}{10^{k}}\leq x_{i}\leq \frac{m_{i+1}}{10^{k}} \forall i\in\{1,\ldots ,n\}\} \] entonces se da la siguiente definición.
Definición. sea $x\in\mathbb{R}^{n}$ tal que se denomina Cubo de Jordan al conjunto denotado por: \[ C_{n}^{k}:=\{x\in\mathbb{R}^{n}\ | \frac{m_{i}}{10^{k}}\leq x_{i}\leq \frac{m_{i+1}}{10^{k}} \forall i\in\{1,\ldots ,n\}\} \] $m_{i}$ es un término que recorre independientemente cada uno de los ejes coordenados de $\mathbb{R}^{n}$.
En éste caso los cubos de Jordan tienen un rango determinado por el valor $n$ dado anteriormente.
Cuando $n=1$ lo que sucede con un cubo de Jordan, es que se muestra como un intervalo, esto es $C_{1} ^{k}=\{x\in\mathbb{R}^{1}\ | \frac{m}{10^{k}}\leq x\leq \frac{m+1}{10^{k}} \}$, y cuando $k=0,1,2$:
Estos ejemplos los podemos observar con mayor detalle en la siguiente animación.
En este caso, revisamos cuando $n=2$, esto implica, como en el ejemplo anterior, un aumento en la dimensión, en este caso los cubos de Jordan no son segmentos sino cuadrados, cuya área va a estar dada en cunción de los valores que tome $k$. Así, $C_{2}^{k}=\{x\in\mathbb{R}^{2}\ | \frac{m_1}{10^{k}}\leq x\leq \frac{m_1+1}{10^{k}}, \frac{m_2}{10^{k}}\leq y\leq \frac{m_2+1}{10^{k}} \}$. Veamos que ocurre cuando $k=0,1.$